5.6 Cadenas Absorbentes

Para quedar clasificado como cadena absorbente, un sistema debe cumplir dos requisitos: debe tener un estado absorbente y debe poder alcanzar ese estado. Un estado absorbente es aquel del que no puede salirse. Esto puede observarse fácilmente en la matriz de transición, porque un estado absorbente tiene una probabilidad de transición hacia sí mismo de uno y cero hacia todos los demás estados.

5.7 Matriz fundamental y cálculos asociados

Siempre que un proceso de Markov tenga estados absorbentes, no calcularemos las probabilidades del estado estable, ya que cada una de las unidades finalmente terminarán en alguno de los estados absorbentes. El cálculo de las probabilidades de los estados absorbentes requiere la determinación y el uso de lo que se conoce como una Matriz Fundamental.

Se puede calcular una matriz N, llamada MATRIZ FUNDAMENTAL, utilizando la fórmula siguiente: N = (I-Q)-1 Donde I es una Matriz identidad, el superíndices -1 representa la inversa de la matriz (I-Q). Todos estos cálculos, los podemos realizar a través del Excel. Cálculos de la Matriz Fundamental N I-Q = 1.0 0.0 - 0.3 0.3 = 0.7 -0.3 N=(I-Q)-1 1.67 0.56 NR = 0.89 0.11 0.0 1.0 0.3 0.1 -0.3 0.9 0.56 1.30 0.74 0.26

La Matriz inversa de (I-Q) o sea N= (I-Q)-1, se puede calcular con la función "MINVERSA" de Excel N= Matriz Fundamental fórmulas Excel y cálculos Si para la matriz desarrollada se puede concebir como la operación de las cuentas por cobrar a través de un proceso de Markov, podemos considerar periodos o sucesos semanales, con dólar que aparece en alguno de los siguientes estados: Estado S1: categoría de pagado Estado S2: categoría de cuentas malas Estado S3: categoría de 0 a 30 días de antigüedad Estado S4: categoría de 31 a 90 días de antigüedad ANALISIS DE LOS RESULTADOS: La primera hilera del producto NR es la probabilidad de que un dólar de antigüedad de 0 a 30 termine en cada uno de los estados absorbentes. Así, vemos que existe una probabilidad de 0.89 de que un dólar de la categoría de 0 a 30 días finalmente quede pagado y una probabilidad de 0.11 de que se convierta en cuenta incobrable, igual análisis se hace para la segunda hilera

5.8 Cadenas Ergódicas

Una cadena ergódica describe matemáticamente un proceso en el cual es posible avanzar desde un estado hasta cualquier otro estado.

Un caso más restringido de cadena ergódica, es una cadena regular. Una cadena regular se define como una cadena que tiene una matriz de transición P la cual para alguna potencia P tiene únicamente elementos positivos (diferentes de cero). Utilizando la misma matriz de transición, la forma más sencilla de verificar si una cadena es regular consiste en elevar sucesivamente al cuadrado la matriz hasta que todos los ceros sean eliminados o hasta que se desarrolle un patrón que demuestre obviamente que por lo menos un cero nunca podrá eliminarse. Se puede afirmar que todas las cadenas regulares son ergódicas pero lo contrario no necesariamente es cierto.

5.9 Aplicaciones Cadenas de Markov

1. El centro de cómputo de La Universidad Autónoma sufre paros de las computadoras. Supongamos que los ensayos de un proceso de Markov asociado se definen como períodos de una hora y la probabilidad de que el sistema esté en un estado de operación o en estado de paro se base en el estado del sistema durante el período anterior. Los datos históricos muestran las siguientes probabilidades de transición:

De HACIA OPERANDO DETENIDO OPERANDO 0.90 0.10 DETENIDO 0.30 0.70

a. Si el sistema inicialmente opera, ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema esté detenido en la siguiente hora de operación?

b. ¿Cuáles son las probabilidades de un estado estable del sistema en el estado de operación y en el detenido?

2. Un problema importante de tránsito en la salida de Barranquilla implica que el tránsito intenta cruzar el río Magdalena hasta Santa Marta utilizando la carretera interdepartamental. Supongamos que la probabilidad de que no haya retraso por tránsito en un periodo, en función de ninguno en el período anterior es de 0.85 y que la probabilidad de encontrar un retraso de tránsito en un período, dado uno en el anterior, es de 0.75. El tránsito se clasifica en estados de retraso o de no retraso, y el período considerado es de 30 minutos. a. Suponga que usted es un conductor que sintoniza el sistema de tránsito por radio y recibe un informe de un retraso, ¿Cuál es la probabilidad de que para los siguientes 60 minutos (dos períodos) el sistema esté en un estado de retraso? Note que esta es la probabilidad de que esté en retraso durante dos períodos consecutivos. b. ¿Cuál es la probabilidad de que, a la larga, el tránsito no esté en estado de retraso?

3. Mercafácil es más pequeña que Merkosto o que Mercatodo. Sin embargo, la comodidad de Mercafácil, con un servicio más rápido y con bomba de gasolina para los automóviles, se puede esperar que atraiga a algunos de los clientes que actualmente hacen salidas de compras semanales ya sea a Merkosto o a Mercatodo. Suponga que las probabilidades de transición son como sigue: DE HACIA Mercafacil Mercatodo Merkosto Mercafacil 0.85 0.10 0.05 Mercatodo 0.20 0.75 0.05 Merkosto 0.15 0.10 0.75

a. Calcule las probabilidades del estado estable para este proceso de Markov de tres estados. b. ¿Qué penetración en el mercado tendrá Mercafácil?

4. Coltefinanciera tiene dos clases de antigüedades para sus cuentas por cobrar: (1) las de una antigüedad de 0 a 30 días y (2) las de 31 a 90 días de antigüedad. Conforme la empresa opera hacia el futuro, podemos considerar cada una de las semanas como un ensayo de un proceso de Markov, con un dólar que aparece en alguno de los siguientes estados del sistema: Estado 1: categoría pagado Estado 2: categoría de cuenta mala Estado 3: categoría de 0 a 30 días de antigüedad Estado 4: categoría de 31 a 90 días de antigüedad Suponga que es apropiada la siguiente matriz de transición. 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.25 0.25 0.5 0.2 0.05 0.25 Si Coltefinanciera tiene 4.000 dólares en la categoría de 0 a 30 días y 5.000 dólares en la de 31 a 90 días, ¿Cuál es su estimación del monto de cuentas incobrables que sufrirá la empresa?

4. Una empresa grande reunió información de las razones por las que los administradores de nivel medio como los que tienen antigüedad abandonan la empresa. Algunos de los administradores finalmente se retiran, pero otros abandonan la empresa. Algunos de los administradores finalmente se retiraran, pero otros abandonan la empresa antes de su retiro por razones de tipo personal, incluyendo puestos mas atractivos en otras empresas. Suponga que es aplicable la siguiente matriz de probabilidad de transición de un año, con los cuatro estados de los procesos de Markov: el retiro, abandono antes del retiro por razones personales, permanencia como otro administrador medio o permanencia como administrador señor.

RETIRO ABANDONO PERSONAL ADMINISTRADOR MEDIO ADMINISTRADOR SENIOR RETIRO 1.0 0.0 0.0 0.0 ABANDONO PERSONAL 0.0 1.0 0.0 0.0 ADMINISTRADOR MEDIO 0.03 0.07 0.8 0.1 ADMINISTRADOR SENIOR 0.08 0.01 0.03 0.88

a. ¿Qué estados pueden considerarse absorbentes? ¿Por qué? b. Interprete la probabilidad de transición de los administradores medios. c. Interprete la probabilidad de transición de los administradores senior. d. ¿Qué porcentaje de administradores medios actuales finalmente se retirará de la empresa? ¿Qué porcentaje abandonará la empresa por razones de tipo personal? e. Actualmente la empresa tiene 920 administradores: 640 medios y 280 senior. ¿Cuántos de estos finalmente se retirarán de la empresa? ¿Cuántos abandonaran por razones particulares?

6. La administración de la CIA de refrescos POSTOBóN cree que la probabilidad de que un cliente adquiera COLA o el competidor más importante de la empresa, COCA COLA, está basada en la compra más reciente. Suponga que son apropiadas las siguientes probabilidades de transición: De Hacia COLA COCACOLA COLA 0,9 0,1 COCA COLA 0,1 0,9

a. ¿Cuál es la probabilidad de que este cliente adquiera Red Pop en su segunda compra? b. ¿Cuál es la penetración en el mercado a largo plazo para cada uno de estos dos productos? c. Red Pop planea una campaña publicitaria para aumentar las probabilidades de transición de los clientes de COCA COLA. La administración cree que la nueva campaña aumentaría 0,15 la probabilidad de que un cliente cambie de COCA COLA a COLA. ¿Cuál es el efecto proyectado de la campaña de publicidad en la penetración de mercado?

7. Una causa de la detención en un centro de cómputo que sufre paros de las computadoras, fue rastreada hasta una pieza específica de hardware. La Administración cree que pasar a un componente diferente de hardware dará las siguientes probabilidades de transición:

De Hacia Operando Detenido Operando 0,95 0,05 Detenido 0,60 0,40

a. ¿Cuáles son las probabilidades, en estado estable, de que el sistema esté en estado de operación o detenido? b. Si el costo del sistema detenido por cualquier período se estima en 500 dólares (incluyendo utilidades y pérdidas debido al tiempo de parado y al mantenimiento) ¿Cuál es el costo de punto de equilibrio del nuevo componente de hardware, con base en un periodo de tiempo?

7. Los datos reunidos acerca de importantes áreas metropolitanas seleccionadas de la parte este de Estados Unidos muestran que 2% de los individuos que viven dentro de los límites de la ciudad se mudan a los suburbios en un período de un año, en tanto que 1% de los individuos que viven en los suburbios se mudan a la ciudad en un período de un año. Responda las siguientes preguntas, suponiendo que este proceso queda modelado por un proceso de Markov con dos estados: ciudad y suburbios. 8. a. Prepare la matriz de probabilidades de transición b. Calcule las probabilidades del estado estable c. En un área metropolitana específica, 40% de la población vive en la ciudad y 60% vive en los suburbios. ¿Que cambios en la población resultan de las probabilidades de estado estable para esta área metropolitana.

9. Los patrones de compra para dos marcas de pasta de dientes se pueden expresar como un proceso de MarKov con las siguientes probabilidades de transición:

Hacia De Colgate Colinox Colgate 0,90 0,10 Colinox 0,05 0,95

a. ¿Qué marca aparenta tener mas clientes leales? Explique b. ¿Cuál es la penetración de mercado proyectada para ambas marcas? 10. Dada la siguiente matriz de transición con los estados 1 y 2 como estados absorbentes, ¿Cuál es la probabilidad de que las unidades en los estados 3 y 4 terminen en cada uno de los estados absorbentes?

1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,2 0,1 0,4 0,3 0,2 0,2 0,1 0,5

11. Caribeña de Palmeras es propietataria de un terreno de 5000 palmeras. Cada año Caribeña de Palmeras le permite a los detallistas seleccionar y cortar árboles para la venta a clientes individuales.Caribeña protege los árboles pequeños (por lo general de menos de 4 pies de alto) de manera que estén disponibles para venta en años futuros. Actualmente están clasificados 1500 árboles como protegidos, en tanto que los 3500 restantes están disponibles para corte, quizás no sean seleccionados sino hasta en años futuros. Aunque la mayoría de los árboles que no se cortan en un año viven hasta el siguiente, todos los años se pierden pinos enfermos. Al estudiar la operación de las palmeras caribeñas como proceso de Markov con períodos anuales, definimos los cuatro estados siguientes: Estado 1 Cortado y vendido Estado 2 Perdido por enfermedad Estado 3 Pequeño para corte Estado 4 Disponible para cortar, pero no cortado ni vendido La siguiente matriz de transición es apropiada: 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,1 0,2 0,5 0,2 0,4 0,1 0,0 0,5

¿Cuántos de los 5000 árboles del vivero se venderán y cuántos se perderán?

12. En la siguiente matriz de probabilidad de transición se resume la información del progreso de los estudiantes universitarios en una universidad particular: Graduado Abandona De 1°año De 2° año De 3° año De 4° año Graduado 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Abandona 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 De 1ª año 0,00 0,20 0,15 0,65 0,00 0,00 De 2ª año 0,00 0,15 0,00 0,10 0,75 0,00 De 3ª año 0,00 0,10 0,00 0,00 0,05 0,85 De 4ª año 0,90 0,05 0,00 0,00 0,00 0,05

a) ¿Qué estados son absorbentes? b) Interprete la probabilidad de transición de un estudiante de segundo año. c) Utilice Excel para calcular las probabilidades de que un estudiante de segundo año se gradúe o abandónelos estudios. d) En un discurso de bienvenida a 600 alumnos de nuevo ingreso, el rector les pide que se den cuenta que aproximadamente 50% de los presentes no llegará al día de graduación. ¿Un análisis de los procesos de Markov apoya la declaración del rector? Expliquee) Hoy, la universidad tiene 600 estudiantes nuevos; 520 de segundo; 460 de tercero y 420 de cuarto. ¿Que porcentaje se graduará de los 2000 estudiantes de la universidad?

Bibliografía

THIERAUF, Robert J y GROSSE, Richard., Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones, México: Editorial LIMOSA-NORIEGA, 1990

TAHA, Hamdy A, Investigación de Operaciones, México: Editorial ALFAOMEGA, 1991.

ANDERSON, David R, SWEENEY, Dennis J y WILLIAMS, Thomas A, Métodos cuantitativos para los negocios, México: Editorial Internacional Thomson Editores, 1999.

WINSTON, Wayne L, Investigación de Operaciones, aplicaciones y algoritmos, México: Editorial Grupo Editorial Iberoamericana; 1994.

SHAMBLIN, James E, y STEVENS, Jr. G.T. Investigación de operaciones, un enfoque fundamental, Editorial: Mc Graw Hill, México, 1986.

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